Ley de Benford

1Según la ley de Benford o ley del primer dígito, los números cuyo primer dígito significativo es el 1, aparecen con una frecuencia significativamente mayor que el resto de los números. Y no sólo eso, sino que además, a medida que crece este primer dígito significativo, más infrecuente es su aparición.

La ley de Benford es aplicable tanto en el ámbito de las ciencias naturales y las ciencias sociales. La primera persona que advirtió su existencia fue el astrónomo estadounidense Simon Newcomb, en 1881, que observó que las primeras páginas de las tablas matemáticas de consulta estaban notablemente más desgastadas que las finales, de lo que dedujo que los dígitos iniciales de los números utilizados en su trabajo por quienes habían consultado las tablas no son equiprobables. El fenómeno fue redescubierto en 1938 por el físico Frank Benford, que comprobó el cumplimiento de la ley que lleva su nombre con un amplio rango de datos. Su principal contribución fue señalar que la distribución que siguen los números de la vida real teniendo en cuenta su primer dígito significativo es de tipo logarítmico. Específicamente y según Benford, la probabilidad de que un número empiece por un determinado dígito d es:

log-scale

tablaprop

De hecho, si nos fijamos en el siguiente gráfico, podemos ver cómo en una escala logarítmica, la zona del eje asignada a cada primer dígito guarda las mismas proporciones:

logscale

Ahora mostraremos cómo la ley de Benford se cumple incluso en el fútbol. Como disponemos de la tabla de goleadores de la Liga Nacional de Fútbol de la temporada 2007/08, haremos un análisis estadístico de la misma, clasificando a los goleadores según el primer dígito por el que empieza la cifra de goles que consiguieron en toda la temporada:

goladoresComo podemos ver, esta distribución cumple de forma aproximada la ley de Benford.

Otra forma posible de ilustrarla es con la serie de Fibonacci, que como sabemos, guarda estrecha relación con el número aúreo y ciertas formas de la naturaleza, e incluso con la música. Tomemos los cien primeros términos (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 . . .) y hagamos el mismo análisis:

fibonacci2En este caso, el parecido de las proporciones con las predichas por Benford es aún mayor. Parece que existe una especie de ley natural que subyace bajo la maraña de datos, números y formas que pasa delante de nuestros ojos cada día.

Una de las utilidades prácticas de la ley de Benford es curiosa: puede ayudar a Hacienda a descubrir fraudes en las cuentas anuales de las sociedades, ya que éstas deben cumplirla de forma aproximada. Este método de detección de fraudes ya se emplea actualmente en EEUU.

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4 respuestas a Ley de Benford

  1. Charles dijo:

    Muy grande!

  2. fcarrasco dijo:

    Lo que se me ha olvidado comentar en la entrada es que la ley de Benford también puede usarse para sacar más nota en un examen tipo test. Si tenemos que responder una pregunta cuya respuesta desconocemos completamente y las posibles alternativas son:
    a)455
    b)1135
    c)890
    d)956
    Lo más inteligente en este caso sería elegir la b), ya que es más probable acertar.

  3. danielmadv dijo:

    Esta ley está siendo muy utilizada en el area de detección de fraudes económicos y fraudes en elecciones de diferentes paises tal como se comenta en
    http://fraudit.blogspot.com/2008/01/tecnicas-antifraude.html

    en el mismo articulo se menciona los requisitos que deben cumplirse para aplicar la ley, los números de telefono no se ajustan a esta ley. Su aplicación está creciendo, es así que existen varias herramientas que analizan los datos con la Ley de Benford como son el ACL, IDEA, Kirix y el Datas, este último de Mark Nigrini el cual la aplicó para detectar contabilidades contaminadas, una conferencia de nigrini la tenemos en
    http://fraudit.blogspot.com/2009/01/nigrini-y-ley-de-benford.html

    Asi mismo al aplicar la Ley de Benford debemos considerar algunos aspectos estadísticos como se detallan en el artículo siguiente:
    http://fraudit.blogspot.com/2009/01/peligros-de-la-ley-de-benford.html

  4. fcarrasco dijo:

    danielmadv, muchas gracias por toda la información.

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